A felhők nem gömbök - szereti hangoztatni Mandelbrot. A hegyek nem kúpok. A villám nem egyenes utat követ. Az új geometria olyan világegyetemet tükröz, amely egyenetlen, nincs legömbölyítve, nem sima, hanem érdes. Ez a ragyás és összetöredezett, a megcsavart, összekuszálódott és egybefonódott geometriája. A természet komplexitásának megértéséhez az a sejtés nyitott kaput, mely szerint a komplexitás nem csupán véletlen, nem holmi esetlegesség. Csak az a meggyőződés vezethet el a komplexitás megértéséhez, hogy például a villámcsapás nyomvonalában nem az irány az érdekes, hanem hogy hogyan következnek egymás után az irányváltozások. Mandelbrot munkája megfogalmazott egy állítást a világról, éspedig azt, hogy az ilyen szokatlan alakzatoknak jelentésük van. A ragyák és gubancok nem pusztán az euklideszi geometria klasszikus alakzatainak csúf eltorzításai; többek ennél: nemegyszer kulcsok a lényeghez.

Mi a lényege például egy partvonalnak? Mandelbrot ezt a kérdést tette fel egyik cikkében, amely fordulópont volt gondolkodásában: "Milyen hosszú Nagy-Britannia tengerpartja?"

Akiknek Mandelbrot feltette ezt a partvonalra vonatkozó kérdést, azok vagy kínosan nyilvánvalónak érezték az egészet, vagy teljesen képtelennek. Tapasztalatai szerint az emberek többsége vagy az válaszolta, hogy "Nem tudom, nem értek hozzá", vagy azt, hogy "Nem tudom, de majd megnézem a lexikonban."

Holott az ő felfogása szerint bármely partvonal végtelenül hosszú - legalábbis egy bizonyos értelemben. Egy másik értelemben viszont attól függ, milyen hosszú a vonalzó.

Minthogy az euklideszi mértékeknek - a hosszúság-, mélység-, és vastagságmértékeknek - nem sikerült megragadniuk a szabálytalan alakzatok lényegét, Mandelbrot egy másik fogalomhoz fordult: a dimenzió fogalmához. A dimenzió olyan tulajdonság, amely sokkal gazdagabb a tudósok szemében, mint a kívülállókéban. Háromdimenziós világban élünk, ami azt jelenti, hogy három számra van szükségünk egy pont megjelöléséhez: ez a három lehet például a földrajzi hosszúság, a földrajzi szélesség és a magasság. A három dimenziót úgy képzeljük el, mint egymással derékszöget bezáró irányokat. Ez még az euklideszi geometria öröksége; ott a térnek három dimenziója van, a síknak kettő, a vonalnak egy, a pontnak pedig nulla.

Akkor mi a dimenziója egy spárgagombolyagnak? Mandelbrot erre azt mondja, hogy attól függ, honnan nézzük. Messziről a gombolyag nem egyéb, mint egy nulla dimenziós pont. Közelebbről a gombolyag egy gömb alakú térrészt látszik kitölteni, amely három dimenziót foglal el. Még közelebbről előtűnik a spárga, és a tárgy gyakorlatilag egydimenzióssá válik, bár az az egy dimenzió mindenesetre önmaga köré gubancolódik, mégpedig a háromdimenziós térben. Továbbra is érdemes azonban megkérdezni, hogy most vajon hány szám szükséges egy pont helyzetének meghatározásához. Messziről egyre sincs szükség - csak egyetlen pont az egész gombolyag. Közelebbről nézve már három kell. Még közelebbről nézve viszont egy is elég: akár fel van gombolyítva a spárga, akár nincs, csak azt kell megmondanunk, hogy mekkora távolságot kell megtenni a spárga végétől a kérdéses pontig.

A mikroszkopikus mérettartományban pedig háromdimenziós oszloppá válik a spárga, az oszlop egydimenziós szálakká bomlik, s a szilárd anyag nulladimenziós pontokká oldódik. Mandelbrot - nem követve a matematikusok felfogását - a relativitáselméletre hivatkozott: "Hogy egy számszerű eredmény függhet a tárgy és a megfigyelő viszonyától, az tökéletesen összeegyeztethető az e századi fizika szellemével, sőt annak példaszerű megnyilatkozása."

Mandelbrot túllépett a 0, 1, 2, 3, ... dimenziókon, mégpedig egy látszólag lehetetlen irányba: a tört dimenziók felé. Ez a fogalom a szellem csúcsteljesítménye. A nem matematikusoktól ugyan megkívánja, hogy legyűrjék hitetlenségüket, de látni való, milyen roppant hatékony.

A törtdimenzió révén olyan tulajdonságok válnak mérhetővé - nevezetesen az érdesség, töredezettség avagy szabálytalanság -, amelyeknek egyébként nincs világos definíciójuk. Egy kanyargós partvonalnak a hossza például nem mérhető, érdességének azonban létezik jellemző mértéke. Mandelbrot számítási módszerrel is szolgált: megmutatta, hogyan számíthatjuk ki a valóságos objektumok tört dimenzióját, ha tudjuk, hogyan konstruálhatók meg ezek az objektumok vagy ismerjük bizonyos adataikat; ő maga pedig e számítási módszerek segítségével fontos megállapításra jutott: eszerint a természetben előforduló s általa tanulmányozott mintázatok szabálytalanságának mértéke ugyanakkora marad a különböző mérettartományokban. Meglepő, milyen sokszor igaz ez a megállapítás általában is. A világ szabálytalansága minduntalan szabályosnak bizonyul.

Mandelbrot a fizikában felbukkanó hasonló próbálkozások láttán egy nagyobb szabású munka, egy könyv megjelentetése mellett határozott, s úgy gondolta, megfelelő nevet kellene találnia alakzataira, dimenzióira és geometriájára. Ezen töprengve 1975-ben, egy fagyos délutánon azon kapta magát, hogy iskolás fia latin szótárát lapozgatja. Szeme a fractus melléknévre tévedt, amely a "tör" jelentésű frangere igéből származik. A legfontosabb angol rokonszavak - fracture és fraction (törés, töredék) - jó hangzásúnak tűntek. Mandelbrot tehát megalkotta a fraktál szót ( az angolban és a franciában a fractal szó főnév és melléknév is egyszerre).

A fraktál látásmódot kínál a képzeletnek, amellyel az beletekinthet a végtelenbe.

Képzeljünk el egy háromszöget, amelynek mindegyik oldala 1m hosszú. Képzeljünk most el egy átalakítást is - egy sajátos, jól meghatározott, könnyen ismételhető szabálysorozatot: vegyük minden oldalnak a középső harmadát és emeljünk rá egy ugyanilyen oldalhosszú (azaz az eredetihez képest harmad akkora) egyenlő oldalú háromszöget.

Az eredmény egy Dávid-csillag. Ennek a körvonala az eredeti három 1 méteres szakasz helyett tizenkét 1/3 méteres szakaszból áll, és három helyett 6 csúcsa van.

alt="Your browser understands the <APPLET> tag but isn't running the applet, for some reason." Your browser is completely ignoring the <APPLET> tag!      

Vegyük most ezt a tizenkét oldalt és ismételjük meg az átalakítást: emeljünk ismét háromszögeket az oldalak középső harmadára. Csináljuk ezt tovább, a végtelenségig. A körvonal részletekben egyre gazdagabbá válik - mint a Cantor-halmaz, amely egyre ritkábbá vált -, s egyre jobban hasonlít majd egy eszményi hópehely körvonalához. Ezt a vonalat Koch-görbének nevezik, mert Helge von Koch svéd matematikus írta le elsőként, még 1904-ben.